Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9

1. ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG Môn thi: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (3,5đ) a. Giải phương trình sau: 2 + 1 + 7 ― 2 = 4. b.Chứng minh rằng 24 +5 3 ―5 + 14 chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên x. Câu 2: (3,5đ) a.Cho ∆ có ba đường cao AA1, BB1,CC1 đồng quy tại H. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P = . . 1 1 1 b.Cho ∆ vuông tại có BC= a. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC theo a. Tìm điều kiện của a để diện tích lớn nhất của ∆ là một số chính phương (một số được gọi là số chính phương nếu nó là bình phương của một số nguyên) Câu 3: (3đ) Cho hai đường tròn (O1;R1) và (O2;R2) tiếp xúc ngoài với nhau, gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn.Biết rằng R 1>R2 và MN =2R2 2. Tính tỉ số diện tích của hai hình tròn (O1) và (O2). Câu 4: (3,5đ) a.Cho đa thức P(x) = ( + 2) 3 + 2 + ( ― 1) + + 8. Biết rằng P(0)=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của P(a). b.Cho các số thực x,y thỏa mãn x,y ≥ ― 1 và 2 + 2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F= 1 + + 1 + 12 ― 1 + 1 22 ― 2 + 1 푛2 ― 푛 + 1 Câu 5: (3,5đ) Cho biểu thức: A= (푛 ∈ ∗) 12 + 1 + 1.22 ― 2 + 1 푛2 ― 푛 + 1 a.Rút gọn biểu thức A. 1 + 푛 b. Chứng minh rằng là số chính phương với mọi 푛 ∈ ∗ Câu 6: (3đ) Cho 3 số nguyên dương đôi một khác nhau. Hai bạn A và B chơi một trò chơi như sau: i)Mỗi lượt chơi mỗi bạn sẽ viết ngẫu nhiên ít nhất 1 số trong 3 số trên sao cho có 4 số được viết ra. ii)Không có lượt chơi nào mà hai bạn viết ra các bộ số hoàn toàn giống nhau. iii)Không có 3 lượt chơi liên tiếp nào mà các số chung nhau là giống nhau. a.Chứng minh rằng sau 3k lượt chơi (với k nguyên dương) thì tổng các số viết ra là bội của 4. b.Chứng minh rằng nếu 3 số đã cho là 3 số lẻ thì không tồn tại số nguyên dương m sao cho sau 3m lượt chơi thì tổng các số được viết ra là 4m( 2 ― + 2) Hết