Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Hải Phòng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Hải Phòng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG CẤP THCS, NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 28/03/2023 Bài 1. (2,0 điểm) a−− ab22 a +− ab 224 aab 4 − 22 a) Rút gọn biểu thức A = − : (với ab>>0 ). 22 22 2 a+− ab a −− ab b 153−++++ 6 6 6 6 b) Chứng minh rằng << (trong đó biểu thức chứa căn có 6 27 3− 6 + 6 ++ 6 2023 dấu căn ở tử số và 2022 dấu căn ở mẫu số). Bài 2. (2,0 điểm) a) Cho phương trình x22−(4 m + 1) xm + 4 −= 10 (với m là tham số ). Tìm m để phương trình có hai nghiệm xx12, thoả mãn điều kiện x1 < 0 và xx12< .  1 21x += 3  xy+ b) Giải hệ phương trình  . 1 21y −= 1  xy+ Bài 3. (2,0 điểm) a) Tìm x nguyên dương để 4x32+ 14 xx +− 9 6 là số chính phương. b) Cho xyz,, là các số thực dương thỏa mãn xz≥ . Chứng minh rằng xz y2 xz+ 2 5 + +≥ y2 + yz xz++ yz x z 2 Bài 4. (3,0 điểm) Cho ∆ABC nhọn không cân tại đỉnh A, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của ∆∈ABC( H BC ). Gọi PQ, lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến các đường thẳng AB,. AC a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp. b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M, đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K (K khác A). Chứng minh rằng MH2 = MK MA c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP. Chứng minh ba điểm IHK,, thẳng hàng. Bài 5. (1,0 điểm) Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông sao cho có thể đặt vào trong nó 5 hình tròn có bán kính bằng 1, biết rằng các hình tròn này đôi một không có quá một điểm chung. Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi 1: Cán bộ coi thi 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG CẤP THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Ngày thi: 28/03/2023 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Bài Đáp án Điểm 1a. (1,0 điểm) 22 22 4 22 a ab a ab - 4 aab - Với ab>>0 ta có A -: 2 a ab22- a ab 22 b 22 22 22 − − −+ − 2 (a ab) ( a ab) b = . 22 22 4 22 (a−− aba) ( +− ab) 4 a− ab 0,25 −−4aa22 b b 2 = 2 0,25 b 22− 4 aa b a = − 0,25 a −>1 khia 0 =  0,25 <  1 khia 0 1b. (1,0 điểm) Bài 1 (2 điểm) 3−++++ 6 6 6 6 Đặt A = 3− 6 + 6 ++ 6 0,25 và a =6 + 6 ++ 6 (Với 2023 dấu căn). 2 suy ra a −=6 6 + 6 + + 6 (Với 2022 dấu căn) 31− a Và A = = 1 2 ( ) 0,25 36−−(a ) 3 + a Ta có a <++++6 6 6 3 (Với 2023 dấu căn) 11 ⇒a <⇒32 < ( ) 0,25 63+ a 1 15 Ta có 2, 4< 6 <⇒a < = (3) 3++a 3 2, 4 27 15 Từ (2) và (3) suy ra <<A . 0,25 6 27 Bài 2 2 a. (1,0 điểm) (2 điểm) Giả sử xx12, là các nghiệm của phương trình đã cho. 0,25 -Trang 1-
3. Bài Đáp án Điểm   x1 0  122 1 2 12  2 1  2 − 10  1  m >− 0,25  4  11 − −  4 0,25 11 11 ⇔− xy0, > 0 0,25 Do đó:   13 31 1 2 = + 21x += 31 +=  xy+ xy+ 2 x 22xy ⇔⇒  1 11 2 31 21y −= 1 1 −= = − 0,25  xy+  xy+  2 y xy+ 22xy 4 91 22 ⇒ =−⇒+−=⇔−x890 xy y( x y) ( x += 90 y) xy+ 44 x y xy= ⇔  = − xy9 Vì xy>>0, 0 nên xy= −9 (không thoả mãn). 0,25 31 2 Với xy= ta có 2 = + ⇔=2 ⇔=⇒=xy1 1. 22xx x Ta thấy (xy;) = ( 1; 1) thoả mãn hệ phương trình (I.) 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (xy;) = ( 1; 1) . 3a. (1,0 điểm) Vì 4x32+ 14 xx +− 9 6 là số chính phương, nên ta có Bài 3 32 2 * (2 điểm) 4x+ 14 xx + 9 −= 6 k với kN∈ 0,25 Ta có 4x32+ 14 xx +−==+ 9 6 ( x 2) ( 4 xx2 +− 6 3) -Trang 2-
4. Bài Đáp án Điểm Đặt (x+24) ( xx22 +−= 6 3) k Gọi (x+2, 4 xx2 +−= 6 3) d với d ∈ * Ta có (x+2, 4 xx2 +−= 6 3) d ⇒+xdx2 ⇒ + 24 x − 2 d ⇒ 4 xxd2 + 6 − 4 0,25 ( ) ( )  Ta lại có 4xxd2+− 63 ⇒( 4 xx 22 +−− 63) ( 4 xx +− 64) d ⇒ 1 dd ⇒= 1. Vậy (x+2, 4 xx2 +−= 6 3) 1 mà (x+24) ( xx22 +−= 6 3) k nên ta có x + 2 và 4xx2 +− 63 là số chính phương 2 22* Đặt xa+=2 và 4xx+ 63 −= b với ab, ∈ N . 0,25 Vì x nguyên dương nên ta có 22 4xb22 0, >> 0, 0 ta có 2 xz y xz+ 2 ++ 2 y+ yz xz++ yz x z 2 xz y 22zx yz 11++ yz yz y = + +x =++ zx 2 y xz z y x z +1 ++11 +++ 1 11 yz yz x z y x 2 ab2212+ c xy z =++ trong đó ab22=; = ; c 2 = và ba22+1 ++ 11 c 2 yz x 0,25 abcc>>>≤0, 0, 0, 1 do xz≥ . Ta có a22 b2 ab +− 22 + ba++11ab 1 2 2 22 2 2 a( a+1) ( ab ++ 1) b( b + 1) ( ab +− 12) ab( a + 1) ( b + 1) = 22 (a++11) ( b) ( ab + 1) 22 2 22 2 2 ab( a− b) +−( a b) ( a ++ ab b) +−( a b) = ≥ 0 (a22++11) ( b) ( ab + 1) 0,25 2 a22 b22 ab +≥==c Do đó 22 (1) ba++11ab ++11 1c +1 c 0,25 Đẳng thức xảy ra khi ab= . Khi đó -Trang 3-
5. Bài Đáp án Điểm 2 2 22 2512+ c 2.2( 1++c) 2.( 1 + c) ( 1 + 2 c) − 5( 1 + cc) ( 1 +) + −= 2 12+c c +1 21( ++cc) ( 1 2 ) 3 23 13−+ccc 3 − (1 −c) = = ≥00( <≤c 1) ( 2) 21++cc 122 21 ++ cc 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi xyz= = 0,25 A J K O Q P C M B H I D 4a. (1,0 điểm) 00 0 0,25 APH + AQH =+=90 90 180 (HP ⊥ AB, HQ ⊥ AC ) ⇒ Tứ giác APHQ nội tiếp. 0,25 ⇒ PQA = PHA mà PHA = PBC (cùng phụ BAH ) 0,25 Bài 4 = ⇒ 0,25 (3 điểm) Do đó PQA PBC Tứ giác BPQC nội tiếp. 4b. (1,0 điểm) MP MB ∆MPB ∆MCQ (g.g) ⇒=⇒MP. MQ = MB .1 MC ( ) 0,25 MC MQ MK MB ∆MBK ∆MAC (g.g) ⇒=⇒MK. MA = MB .2 MC ( ) 0,25 MC MA Ta có BHP = BAH (cùng phụ AHP ) BAH = PQH (hai góc nội tiếp cùng chắnHP ) ⇒ BHP = PQH 0,25 MH MP ⇒ ∆MHP ∆MQH (g.g) ⇒ = ⇒=MH2 MP.3 MQ ( ) MQ MH Từ (1,2) ( ) và (3) suy ra MH2 = MK MA 0,25 4c. (1,0 điểm) Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) ⇒ ABD = 900 . 0,25 Ta có DAC + AQP = DBC + ABC = ABD = 900 ⇒ AD⊥ PQ . ∆MKH ∆MHA (c.g.c) ⇒ MKH = MHA = 900 . 0,25 -Trang 4-
6. Bài Đáp án Điểm ⇒ K thuộc đường tròn đường kính AH và HK⊥ AM (4) Gọi J là trung điểm của AH.Ta có J là tâm của đường tròn đi qua 5 điểm AK,,,,. PHQ Có (I ) và (J ) cắt nhau tại P, Q⇒⊥ IJ PQ (tính chất đường nối tâm ) mà AD⊥⇒ PQ AD// IJ . 0,25 Ta có AO// IJ và AJ// OI ⇒ Tứ giác AJOI là hình bình hành ⇒ AJ= JH = OI mà AH// OI ⇒ Tứ giác JOIH là hình bình hành ⇒ IH// OJ . mà OJ⊥ AK ( tính chất đường nối tâm ) ⇒ IH⊥ AM (5) 0,25 Từ (4,5) ( ) ⇒ IHK,, thẳng hàng. Bài 5. (1,0 điểm) Gọi độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông ABCD thoả mãn yêu cầu đề bài là x. Từ đây suy ra các tâm của 5 hình tròn này nằm trong hoặc trên cạnh của hình vuông MNPQ có cạnh bằng x − 2 (như hình vẽ) 0,25 Chia hình vuông MNPQ thành 4 hình vuông nhỏ có độ dài mỗi x − 2 cạnh là . 2 Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất hai tâm hình tròn nằm trong I J hoặc trên cạnh của một hình vuông nhỏ. Giả sử hai tâm đó là và . 0,25 A x B M x-2 N I Bài 5 J (1 điểm) 1 Q P 1 D C Vì hai hình tròn này có không quá 1 điểm chung trong nên IJ không nhỏ hơn hai lần bán kính và không lớn hơn độ dài đường chéo của hình vuông 0,25 x − 2 (x − 22) cạnh . Suy ra 2 ≤≤IJ 2 2 (x − 22) ⇒ ≥⇒−≥2xx 2 22 ⇒ ≥+ 2 22 2 Vậy độ dài nhỏ nhất của cạnh hình vuông cần tìm là 2+ 22. 0,25 Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa. - Tổng điểm bài thi: 10 điểm . Hết -Trang 5-