Đề thi chọn học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Thường Tín

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Thường Tín

1. ? ? ? ? ? ? ? ? Newthink - Newlife ? ? ∗∗∗∗ AMS∗∗∗∗ UBND HUYỆN THƯỜNG TÍN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO II Ngày thi 01/12/2020 Năm học: 2020 − 2021 Đề thi gồm có 01 trang Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1. (4,0 điểm) √ √ √ √ 2x + x − 1 2x x − x + x  x − x 1. Cho P = 1 + − √ · √ . 1 − x 1 − x x 2 x − 1 2 Rút gọn P và chứng minh P > . 3 r √ √ 1 √ 1 2 2. Tính giá trị biểu thức A = x2 + x4 + x + 1 với x = 2 + − . 2 8 8 Bài 2. (4,0 điểm) 1. Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn (x − y)(y − z)(z − x) = x + y + z. Chứng minh rằng x + y + z chia hết cho 27. 2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x3 + 2x2y + x2 + 2xy = x + 10. Bài 3. (4,0 điểm) 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p, q) thỏa mãn p2 + pq + q2 là số chính phương. 2. Cho số nguyên tố p và hai số nguyên dương x, y thỏa mãn 4x2 − 3xy − y2 − p (3x + 2y) = 2p2. Chứng minh rằng 5x − 1 là số chính phương. Bài 4. (7,0 điểm) Cho một điểm C di động trên đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, vẽ CH vuông góc với AB tại H. 1. Vẽ CM song song với BI (M thuộc AI); lấy điểm F thuộc AB sao cho AC = AF. Tính CMF[ . 2. P thuộc tia đối của tia AC sao cho AP = AC; Q là trung điểm của HB. Chứng minh rằng PH vuông góc với CQ. 3. K tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHC; CK cắt AB tại E. Tìm vị trí của C trên cung AB để diện tích tam giác CEF đạt giá trị lớn nhất. 4. Chứng minh rằng MH, BI, CF đồng quy. Bài 5. (1,0 điểm) Tìm k ∈ Z+ thỏa mãn r r s 1 1 1 1 1 1 20202 − 1 1 + + + 1 + + + ··· + 1 + + = . 12 22 22 32 k2 (k + 1)2 2020 HẾT 1