Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh THCS năm học 2018-2019 môn Toán - SGD&ĐT Kiên Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh THCS năm học 2018-2019 môn Toán - SGD&ĐT Kiên Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH THCS KIÊN GIANG NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 14/3/2019 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu 1. (4 điểm) 1) Cho phương trình x2 2 mx m 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn x1 x 2 2 . 2) Tìm nghiệm x; y thỏa mãn phương trình: 4 x2 1 4 x x 2 y 2 2 y 3 x 4 16 y 5 . Câu 2. (4 điểm) 1) Cho các số thực không âm abc,, thỏa a b c 3. Chứng minh: abc ab bc ca 3. 2) Một chiếc ô tô khởi hành từ thành phố Rạch Giá đến thành phố Hồ Chí Minh dài 280km với vận tốc ban đầu là 80km/giờ. Giả sử cứ sau mỗi giờ vận tốc lại giảm 5 km. Hỏi mất bao lâu thì ô tô đến thành phố Hồ Chí Minh? Câu 3. (4 điểm) n n 1 1) a. Cho đa thức hệ số nguyên P x an x a n 1 x a 1 x a 0 và hai số nguyên a, b khác nhau. Chứng minh: P a P b  a b . b. Cho đa thức P x hệ số nguyên thỏa P 9 10 và P 10 9 . Tồn tại hay không số nguyên x0 sao cho Px 0 x 0 . 2) Tìm nghiệm nguyên x; y của phương trình: xy2 1 y 2 2 x . Câu 4. (4 điểm) 1) Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 sau đó thực hiện trò chơi như sau: mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng a b 2 lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 49 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? 2) Cho hình vẽ bên, với ABCD là hình vuông có cạnh bằng a , BD song song với CE và BD BE . Tính số đo góc BEC . Câu 5. (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AD là đường kính. Biết AB BC 2 5 cm và CD 6 cm . Tính bán kính của đường tròn (O). HẾT Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH THCS KIÊN GIANG NĂM HỌC 2018-2019 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 14/3/2019 (Hướng dẫn chấm có 04 trang) A. HƯỚNG DẪN CHẤM Ngoài các kiến thức trong chương trình Chuẩn và Nâng cao, nếu học sinh có sử dụng các kiến thức phổ biến trong tài liệu chuyên Toán của Nhà xuất bản Giáo dục, các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi thì giám khảo xem xét cho điểm tương ứng nếu cách giải logic và đúng. B. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Biểu Câu Ý Nội dung điểm Cho phương trình x2 2 mx m 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn x1 x 2 2 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x, x khi / 0 hay m2 m 0 1 2 0,25 m 0 hoặc m 1. 0,25 Theo Viete: Sxx 1 22 mPxx ; 1 2 m 0,25 1) 2 0,25 xx1 22 xx 1 2 4 2 2 0,25 x x2 xx 4 1 2 1 2 0,25 S2 4 P 4 0,25 m2 m 1 0 1 5 m (thỏa điều kiện) 0,25 2 Câu 1. Tìm nghiệm x; y thỏa mãn phương trình: (4 điểm) 4 x2 1 4 x x 2 y 2 2 y 3 x 4 16 y 5 . Điều kiện xác định: 2 x 2 4 x 0 4 x 2 x 16 0 x 2 0,25 1 2 0,25 1 4x 0 x yyy  2 1 0 4 2) 2 2 0,25 x y 2 y 3 0 2 2 x y 2 y 3 0 Phương trình ban đầu trở thành 3 y2 2 y 1 5 y 0,25 y 1 2 y ( a ) 0,25 3 . Nếu y 1 thì (a) y1 2 y y (nhận) 2 0,25 . Nếu y < 1 thì (a) 1y 2 y (vô nghiệm) 0,25
3. 3 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x; y là 2; . 2 0,25 Cho các số thực không âm abc,, thỏa a b c 3. Chứng minh: abc ab bc ca 3. Áp dụng BĐT AM-GM cho ba số không âm abc,, : 3 a b c abc 1. (1) 0,5 3 2 1) Mặt khác, ta lại có : 3 ab bc ca a b c (2) 0,5 Thật vậy, BĐT (2) tương đương với ab bc ca a2 b 2 c 2 0,25 2 2 2 0,25 a b b c c a 0 (đúng) 2 a b c 0,25 Do đó, ab bc ca 3 (3) Câu 2. 3 (4 điểm) Nhân (1) và (3) ta được abc ab bc ca 3. (đpcm) 0,25 Một chiếc ô tô khởi hành từ TP Rạch Giá đến TP Hồ Chí Minh dài 280km với vận tốc 80km/giờ. Cứ sau mỗi giờ lại giảm vận tốc 5 km. Hỏi mất bao lâu thì đến TP Hồ Chí Minh. Trong 3 giờ ô tô đi được 80 75 70 225 km. 0,75 Còn 55 km nữa ô tô đi với vận tốc 65 km/giờ. 0,25 55 11 2) Ta có giờ. 65 13 0,25 11 50 Suy ra 3 giờ. 13 13 0,25 50 Vậy ô tô đi từ TP Rạch Giá đến TP Hồ Chí Minh hết giờ (tức mất khoảng 13 0,5 3 giờ 51 phút) n n 1 Cho đa thức hệ số nguyên P x an x a n 1 x a 1 x a 0 và hai số nguyên a, b khác nhau. Chứng minh: P a P b  a b . Sử dụng hằng đẳng thức akk b a b a kk 1 a 2 b ab kk 2 b 1 với k 1 là số nguyên 0,25 Câu 3 1a) PaPbaab n n aa n 1 b n 1 aab (4 điểm) n n 1 1 0,25 a b a an 1 a n 2 b ab n 2 b n 1 n 0,25 a an 2 a n 3 b ab n 3 b n 2 a n 1 1 0,25 Do a, b nguyên nên suy ra P a P b  a b . Cho đa thức P x hệ số nguyên thỏa P 9 10 và P 10 9 . Tồn tại hay không số nguyên x0 sao cho Px 0 x 0 . 0,25 Giả sử tồn tại số nguyên x0 sao cho Px 0 x 0 . 1b) Từ câu a) ta có
4. 0,25 PxPx 0 9  0 9 x 0 10  x 0 9 PxP 10 x 10 x 9 x 10 0 0 0  0 19 0,25 Suy ra x0 10 x 0 9 x 0 . 2 0,25 Không tồn tại số nguyên x0 thỏa yêu cầu bài toán. Tìm nghiệm nguyên x; y của phương trình: xy2 1 y 2 2 x . xy2 1 yxx 2 2 1 2 yy 2 0,5 0,25 x1 yx 1 yy Có các trường hợp xảy ra x 1 yy xy 2 1 0,25 vô nghiệm nguyên x 1 y 1 xy 2 2) xy 1 1 xy 2 x 1 0,25 xyyx 1 1 y 1 x 1 yy x 1 0,25 xy 1 1 y 1 x 1 y 1 0,25 không có nghiệm nguyên. x 1 y y Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệm nguyên x; y là 1; 1 . 0,25 Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 sau đó thực hiện trò chơi như sau: mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ và viết một số a b 2 lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 49 bước số cuối cùng còn lại 1) trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? Tổng tất cả các số ban đầu trên bảng: S 1 2 50 1275 0,5 Qua mỗi bước ta thấy tổng giảm đi 2. 0,5 Lúc đầu tổng S 1275 sau 49 bước số còn lại sẽ là 1275 2.49 1177 . 1,0 Cho hình vẽ bên, với ABCD là hình vuông có cạnh bằng a , BD song song với CE và BD BE . Tính số đo góc BEC . E A B Câu 4 (4 điểm) J I 2) D C Gọi J là giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD; 0,25 I là chân đường vuông góc hạ từ B lên CE. 0,5 Ta có tứ giác BICJ có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 0,25 1a 2 Nên BI JC AC 2 2 0,25 BE BD a 2 0,25
5. BI 1 Trong tam giác vuông BIE có sin BEI BE 2 0,5 Suy ra BEI 300 . Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AD là đường kính. Biết AB BC 2 5 cm và CD 6 cm . Tính bán kính của đường tròn (O). C B I D A O Câu 5 Gọi I là giao điểm giữa BO và AC. (4 điểm) Do AB BC nên AB BC và OA OC . 0,5 Suy ra OB AC và IA IC . Suy ra OB song song với CD 0,5 1 0,5 Từ đó OI CD 3 . 2 0,5 Áp dụng định lý Pytago trong hai tam giác vuông IBC và IOC : 2 2 2 2 2 2 IC BC IB và IC OC OI 0,5 Suy ra 2 2 2 2 BC IB OC OI 0,5 2 2 2 5 R 3 R2 9 0,5 RR2 3 10 0 Rcm 5 ( R 2 loại) 0,5 HẾT