Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT VĨNH LỘC ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8 CỤM TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN 7 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề chính thức Ngày giao lưu: 22 / 03 / 2023 ( Đề gồm: 01 trang ). Câu 1: (4,0 điểm)  1  11 1. Tính giá trị các biểu thức sau: A = 2 + 3,5 :4−+ 2 +7,5  3  67 11  1  1   1 B =++. 1  1  1 +   1 +  2 1.3  2.4  3.5   2021.2023  xz 2. Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: 4x = 3y ; = và 2x 2 + 2y 2 − 3z 2 = −100 35 111 1 1 1 111 11 3. Cho S =−+−++1 − + và P =+++++ . 2 3 4 2013 2014 2015 1008 1009 1010 2014 2015 Tính (S− P)2022 Câu 2: (4,0 điểm) 2 1 1. Tìm xy, biết : 3xy− + 2 −≤ 60 6 2. Tính giá trị của biểu thức Px=32 − y ++ xxyx 2 −2 2 + 2021 + 3 yxy − với xy+=2 3. Cho a , b là các số nguyên thỏa mãn ( 7 a + 5 – 21b)( a + 1 - 3b)  7. Chứng minh rằng : 11b + 15 + 43a  7 Câu 3: (4,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên xy, biết: x+− y24 xy = 2. Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 12 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng: 1. Tam giác ABE bằng tam giác ADC 2. DE = BE 3. EIC = 600 và IA là tia phân giác của DIE Câu 5: (2.0 điểm) 1. Cho f(x) là đa thức hệ số nguyên và thoả mãn f(0) = 0 và f(1) = 2. Chứng minh rằng f(7) không thể là số chính phương. 2. Cho hai số nguyên tố khác nhau p và q . Chứng minh rằng : pqqp−−11+−1 chia hết cho p.q Hết Họ tên thí sinh:: SBD Cán bộ coi giao lưu học sinh giỏi không được giải thích gì thêm.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8 NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN 7 Nội dung Điểm  1  11 a) (1.0) A = 2 + 3,5 :4−+ 2 +7,5  3  67 77 25 15 15 35− 85 15 = + :−+ + = : + 0.5đ 32 67 2 6 42 2 35− 42 15 −49 15 157 = . + = + = 6 85 2 17 2 34 0.5đ b) (1.0) 1. (2.0đ) 11  1  1   1 B =++. 1  1  1 +   1 +  2 1.3  2.4  3.5   2021.2023  1 2 2 3 3 4 4 2022 2022  = . . . . . .  2 1 3 2 4 3 5 2021 2023  0.25đ 1 2 2 3 3 4 4 2022 2022  = . . . . . . .  0.25đ 2 1 3 2 4 3 5 2021 2023  2022 0.5đ = Câu 1 2023 (4.0đ) xz x y z Từ 4x = 3y ; = => = = ta có: 35 3 4 5 0,25đ x 2 y 2 z 2 2x 2 2y 2 3z 2 2x 2 + 2y 2 − 3z 2 −100 = = = = = = = = 4 9 16 25 18 32 75 − 25 − 25 0,25đ x = 6 2.  = (1.0đ) 2 y 8 x = 36   x = 10 y 2 = 64 ⇔  ( Vì x, y, z cùng dấu)  x = −6 0,5đ z 2 = 100    = − y 8  z = −10 111 11 Ta có: P =+++++ 3. 1008 1009 1010 2014 2015 (1.0đ) 11 1 1 1 1 1 =1 ++++ + + ++ + 2 3 1006 1007 1008 2014 2015 0,25đ
3. 11 1 1 −1 ++++ + 2 3 1006 1007 11 1 1 1 1 1 =1 ++++ + + ++ + 2 3 1006 1007 1008 2014 2015 111 1 1 0,25đ −2 ++++ + 2 4 6 2012 2014 0,25đ 111 1 1 1 =−+−+1 + − + = S. 2 3 4 2013 2014 2015 0,25đ Do đó (S− P)2022 = 0 2 1 Vì 30x −≥với mọi xy;2−≥ 6 0∀y,do đó: 0.25đ 6 2 1 3x− + 2 y − 60, ≥∀ xy, 6 theo đề bài thì: 22 1. 11  − +−≤⇒− +−= 0.5đ (1.25đ) 3xy 2603  xy 260. Khi đó: 66  11 30xx−= = 6⇒ 18 0.5đ 2yy−= 60 = 3 Câu 2 (4.0đ) 3 2 2 2 P = x – y + x + x y – 2x + 2021 + 3y - xy 2. = x2 (x + y) - 2x2 - y(x + y) + 3y + x + 2021 0.5đ (1.25đ) 2 2 = 2x - 2x - 2y + 3y + x + 2021 = x + y + 2021 = 2023 0.5đ Vậy với x + y = 2 thì P = 2023 0.25đ Từ ( 7 a + 5 – 21b)( a + 1 - 3b)  7 suy ra ( 7 a – 21 b + 5)( a – 3 b + 1)  7 3. ⇒ ( a – 3 b + 1)  7 vì ( 7 a – 21b + 5) không chia hết cho 7 và 7 là 0.5đ (1.5đ) số nguyên tố . Từ ( a – 3 b + 1)  7 ⇒ (42a + 14b +14 ) + ( a – 3 b + 1)  7 0.5đ Vì (42a + 14b + 14 )  7 ⇒ 43a + 11b + 15  7 ( đpcm ) 0.5đ Ta có: x+− y24 xy = suy ra x−2 xy +−= y 40 1. ⇔−24x xy +−=⇔−+−= 28024 y x xy 217 y 0.25đ (2.0đ) ⇔212xy( −−−=⇔−−=) ( 12 y) 7( 2 x 112)( y) 7 0.5đ Câu 3 (4.0đ)
4. Lập bảng 21x − 1 7 -1 -7 12− y 7 1 -7 -1 1.0đ x 1 4 0 -3 y -3 0 4 1 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn 0.25đ Vậy (x; y) cần tìm là (1; -3) ; (4; 0) ; (0; 4) ; (-3; 1) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) 0.25đ Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c a b c abc++ x56 x x x 7 x Ta có: === = ⇒=ab;; = = c = (1) 0.5đ 5 6 7 18 18 18 18 3 18 Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: 2. a, b , c , abc ,,,++ x45 x xx 6 x (2.0đ) === = ⇒=ab,,;; = = c , = ( 2) 4 5 6 15 15 15 15 3 15 0.5đ So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu 67xx x Vây: c’ – c = 12 hay −=⇒=12 1080 15 18 90 0.5đ Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 1080 gói. 0.25đ B D 1 I 2 Câu 4 1 1 1 A C (6.0đ) 3 2 2 2 1 2 E
5. 0 00 0 DAC =+=+= A1 90 60 90 150 Ta có:  ⇒=DAC BAE 0.5đ  0 00 0 BAE=+=+= A2 90 60 90 150 Xét  ADCvà  ABE có: 1. DA = BA (gt) (1.5đ) DAC = BAE (Chứng minh trên) 0.75đ AC = AE (gt) ⇒  ADC =  ABE (c – g – c) 0.25đ 0 Ta có: A 31++ A BAC + A 2 = 360  000 0 ⇔ A3 +++= 60 90 60 360 0 ⇔ A 3 = 150 0 ⇒ A 3 = DAC = 150 0.75đ 2. Xét  DAE và  BAE có: (2.0đ) DA = BA (gt) A 3 = DAC ( Chứng minh trên) AE: Cạnh chung ⇒  DAE =  BAE (c – g – c) 0.75đ ⇒ DE = BE (hai cạnh tương ứng) 0.5đ   * Ta có:  DAC =  BAE (CM câu a) ⇒ E1 = C1 (hai góc 0.25đ 3. tương ứng) (2.5đ) 0 Lại có: I12++ E ICE = 180 (Tổng 3 góc trong  ICE)     0 ⇔ I11+ (AEC −++ E ) (C12 C ) = 180 0 00 ⇔ I11+ 60 −++ E C1 60 = 180 ⇔  +=00  I1 120 180 (Vì E1 = C1 ) 0.75đ 0 ⇔ I1 = 60 0.25đ   * Vì  DAE =  BAE (chứng minh câu b) ⇒ E1 = E2 ( hai góc tương ứng) ⇒ EA là tia phân giác của DEI (1) 0.25đ ∆=∆DAC BAE Vì  ⇒  DAC =  DAE ⇒ D1 = D 2 (Hai góc ∆=∆DAE BAE tương ứng) ⇒ DA là tia phân giác của EDC (2) 0.5đ Từ (1) và (2) ⇒ IA là đường phân giác thứ ba trong  DIE hay IA là tia phân giác của DIE 0.5đ
6. 1. (1.0đ) Vì f(0) = 0 và f(1) = 2 nên f(x) có dạng : f(x) = 2 + x(x - 1).g(x) trong đó g(x) là 1 đa thức với hệ số nguyên 0.5đ Ta có f(7) = 2 +42.g(7) ≡ 2 (mod 3) nên f(7) không thể là số 0.5đ chính phương Câu 5 2. (2.0 đ) (1.0đ) Vì p, q nguyên tố cùng nhau và p khác q nên: (p, q) = 1. Áp dụng định lí Frmat ta có : pq-1 ≡ 1 (mod q) và qp-1 ≡ 1 (mod p) 0.25đ suy ra pq-1 -1  q và qp-1 -1  p mặt khác pq-1  p và qp-1  q nên ta có : pq-1 + qp-1 - 1  q ; pq-1 + qp-1 - 1  p mà (p, q) = 1 0.5đ nên : pq-1 + qp-1 -1  p.q 0.25đ Chú ý: - Nếu HS làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình nếu vẽ hình sai thì không chấm điểm