Đề thi học sinh giỏi các môn văn hóa và môn khoa học cấp Quận môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD và ĐT Hai Bà Trưng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi các môn văn hóa và môn khoa học cấp Quận môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD và ĐT Hai Bà Trưng (Có đáp án)

1. UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĂN HÓA VÀ MÔN KHOA HỌC CẤP QUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 9 Năm học: 2021 - 2022 Ngày thi: 17/02/2022 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài I. (5,0 điểm) 1) Giải phương trình: xxx2 43160 . 2) Cho x,, y z là các số thực khác 0 và thỏa mãn điều kiện: xy yz zx 0. Tính giá trị của xyyzzx biểu thức A . zxy Bài II. (5,0 điểm) 333 1) Cho a,b,c là các số nguyên thoả mãn a b c 2 0 2 1 . Chứng minh a + b+ c chia hết cho 6 . 2) Tìm các số nguyên xy, thỏa mãn xxyxy32 250. Bài III. (2,0 điểm) Cho các số thực xy, thỏa mãn xxyy 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 biểu thức Pxy xy 1 Bài IV. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn O đường kính AK. Các đường cao ADBECF,, cắt nhau tại H . Đường thẳng EF cắt đường tròn O tại hai điểm PQ, ( P và C khác phía đối với AB ). Gọi M là trung điểm BC . 1) Chứng minh tứ giác B H C K là hình bình hành, từ đó suy ra OACBAH . 2) Chứng minh APADOM2 2 3) Dây KQ cắt BC tại L . Chứng minh AL, HQ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác A EF . Bài V. (2,0 điểm) 1) Cho x là số nguyên dương. Tìm tất cả số nguyên dương n để 41xxn 2 là số chính phương. 2) Trong buổi lễ tuyên dương học sinh tiêu biểu lớp 9 của quận Hai Bà Trưng, có 20 học sinh nam và 22 học sinh nữ của các trường được vinh dự tham gia. Người ta nhận thấy trong các học sinh đó: Không có học sinh nam nào quen tất cả các học sinh nữ Mỗi học sinh nữ quen ít nhất một học sinh nam Chứng tỏ rằng: Tồn tại hai học sinh nam A, B và hai học sinh nữ M, N sao cho A và M quen nhau, B và N quen nhau, nhưng A và N không quen nhau, B và M không quen nhau. HẾT Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên: Số báo danh: Trường THCS
2. UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA VÀ MÔN KHOA HỌC CẤP QUẬN MÔN: TOÁN, LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2021 - 2022 Ngày thi: 17/02/2022 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) (Hướng dẫn chấm gồm 4 trang) Bài I. (5 điểm) 1) (2,5 điểm) Giải phương trình: xxx2 43160 . 1 ĐKXĐ: x . (0,5 điểm) 3 Ta viết lại phương trình thành: xxxx2 213143140 2 xx 13120 2 (1,0 điểm) 2 x 10 2 x 1. (TM ĐKXĐ) (1,0 điểm) 3120x xyyzzx 2) (2,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức: A . zxy Ta có: xyyzzxxyzxyzxyz A 3 (0,5 điểm) zxyzxy Từ đó biến đổi được 1 1 1 A x y z 3 (0,5 điểm) x y z xy yz xz Với giả thiết xyyzx z0 ta có A x y z . 3 3. (0,5 điểm) xyz Bài II. (5 điểm) 1) (2,5 điểm) Chứng minh a + b+ c chia hết cho 6 . Ta có: a3 bca 333 20212022 b 3 cca333 3 66 b 3 c (0,5 điểm) Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh được n3 - nM6 (1,0 điểm) Từ đó a3 + b3 + c3 - a + b+ c = a3 - a + b3 - b + c3 - c M6 ( ) ( ) ( ) ( ) Do đó a + b+ c chia hết cho 6. (1,0 điểm) 2) (2,5 điểm) Tìm các số nguyên xy, thỏa mãn x32 x y x 2 y 5 0.
3. xxx3 55 xxyxyyx32 250. xx22 22 5 x Mà xy, là các số nguyên suy ra (0,5 điểm) x2 2 Suy ra: 52 xx2 552 xxx 2 2722 xx22 2 7 2x2 x 2 2 Ư 27 . Mà xx2 22 (1 điểm) Suy ra: x2 2 3 ;9 ;2 7 Tìm được x 1, 5 7 Với xy 1 (loại) 3 Với xy 11 Với xy 55 125 Với xy 5 (loại) 27 Thử lại rồi kết luận: các cặp số nguyên xy, cần tìm là 1;1;5;5. (1 điểm) Bài III. (2,0 điểm) Cho các số thực xy, thỏa mãn xxyy 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu 1 thức Pxy xy 1 Điều kiện: xy 0;0. Áp dụng BĐT Bunhiacopxxki, ta có: 0 x y 2.1. x y 3()0 x y x y 31 x y 14. (0,5 điểm) Tìm GTNN: 111 P x yx yx y 11 21 .1 2 1 1 x yx 111 yx y Từ đó P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi xy 0. (0,75 điểm) Tìm GTLN: Đặt t x y 1;1 t 2. 3 t 2 2 t2 4 t 1 7 2 1 7 2tt 9 2 Xét hiệu: P t 1 0 do 1 t 2 . 2 t 2 2 t 2 t 7 Từ đó đạt giá trị lớn nhất bằng khi xy 2, 1. (0,75 điểm) 2
4. Bài IV. (6,0 điểm) A Q E N R O F H P B D M L C K 1) (3,0 điểm) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành, từ đó suy ra O AC BA H . Dễ chứng minh: BH//;// CK BK CH suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành. (1,5 điểm) Từ đó BH = CK, suy ra tam giác B D A K~ C A (c.g.c) (1,0 điểm) dẫn tới OAC BA H . (1) (0,5 điểm) 2) (2,0 điểm) Chứng minh A P A2 DO2 . M . Ta có ANFABK~ (g.g) dẫn đến APAN2 AKAF AB (0,5 điểm) Mặt khác: AFHABD~ (g.g) nên AFABADAH (0,5 điểm) Hơn nữa AHOM 2 (OM là đường trung bình trong tam giác AHK) (0,5 điểm) Dẫn đến APOMAD2 2 (0,5 điểm) 3) (1,0 điểm) Chứng minh AL, HQ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác A EF . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác A EF cắt AL tại điểm thứ hai R, suy ra ARH 90.0 Ta có AR ALAH ADAP 2 .Mặt khác từ (1) suy ra được OA vuông góc với PQ, dẫn tới APAQ . Do đó AR ALAH ADAPAQ 22 (0,5 điểm) Vậy ARQ~ AQL (c.g.c). Suy ra ARQAQL 900 nên QR AL hay ba điểm HRQ,, thẳng hàng. Từ đó HQAL, cắt nhau tại một điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF . (0,5 điểm) Bài V. (2,0 điểm) 1) (1,0 điểm) Tìm tất cả số nguyên dương n để 41xxn 2 là số chính phương. Ta có 4xnn x 1 2 y2 y x 1 y x 1 4 x (*) . Nhận thấy y x 1 y x 1 2 y suy ra y x 1 , y x 1 cùng tính chẵn lẻ, hơn nữa y x 1 , y x 1 | 4 xn suy ra cùng chẵn. Đặt y x 1 2 a y x 1 2 a x 1 thay vào (*) ta có: a a x 1 xn .
5. ad Giả sử d là một ước nguyên tố chung của a và ax 1. Khi đó ta có a x d 1 Từ đó xn d x d , dẫn tới 1 chia hết cho d (VÔ LÍ). Vậy a, a x 1 1. Suy ra auaxv nn,1 với x uv và do đó u v v u 1 nn . (0,5 điểm) Dễ thấy với n 1 thì uvuvvu 1101 nên không có x thỏa mãn. Với n 3 thì vuvuvvuuuvnnnnn 121 2 suy ra n chỉ có thể bằng 2. Khi n 2 ta có: 41x x22 y 2 (*) dễ thấy xy 2 , 5 thỏa mãn. (0,5 điểm) 2) (1,0 điểm) Trong 20 học sinh nam, gọi A là bạn quen nhiều học sinh nữ nhất. Vì A không quen tất cả các bạn nữ, nên tồn tại một học sinh nữ N không quen A. Vì N quen ít nhất một bạn nam, gọi học sinh nam đó là B. (0,5 điểm) Ta chứng minh: Trong các học sinh nữ quen A, có một học sinh không quen B. Thật vậy: Giả sử tất cả học sinh nữ quen A đều quen B. Như vậy B quen nhiều bạn nữ hơn A (vì B còn quen cả N). Điều này mâu thuẫn với quy định A là bạn quen nhiều học sinh nữ nhất. Từ đó có một học sinh nữ quen A mà không quen B, đó là bạn M. (0,5 điểm) Lưu ý: mọi cách làm khác nếu đúng, giám khảo thống nhất quyết định cho điểm.