Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Ứng Hòa (Có đáp án)
Câu 5. ( 1 điểm):
Tìm tất cả các số tự nhiên mà khi gạch bỏ một chữ số của nó thì số đó giảm đi 31 lần.
Tìm tất cả các số tự nhiên mà khi gạch bỏ một chữ số của nó thì số đó giảm đi 31 lần.
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Ứng Hòa (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_nam_hoc_2020_2021_phong.pdf
Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Ứng Hòa (Có đáp án)
- PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ỨNG HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Đề số 15 Câu 1. ( 6 điểm): xxx+++121 Cho biểu thức : Pxx=−− ( 0,1 ) . x −1 xxxx −++11 1) Rút gọn biểu thức P . 2 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Qx=+ . P 3) Tính giá trị của khi cho x =−++33750750 . Câu 2. ( 3 điểm): Chứng minh (2 1nn 2−+ 1 )( ) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . Câu 3. ( 4 điểm): 1) Giải phương trình : 41514xxx+=−+ 2 . 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xyxyxy22+=++ . Câu 4. (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AKBDCE,, cắt nhau tại H . 1) Chứng minh ABAEACAD = . KCACCBBA222+− 2) Chứng minh = . KB BACAAC222+− AK 3) Giả sử HK = . Chứng minh rằng : tan.tan3BC= . 3 2 4) Giả sử SABC = 120cm và BAC =60 . Hãy tính SA D E . Câu 5. ( 1 điểm): Tìm tất cả các số tự nhiên mà khi gạch bỏ một chữ số của nó thì số đó giảm đi 31 lần. HẾT
- HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN ỨNG HÒA Năm học: 2020-2021 Câu 1. ( 6 điểm): x+1 x + 2 x + 1 Cho biểu thức : P= − −( x 0, x 1) . x −1 x x−11 x + x + 1) Rút gọn biểu thức P . 2 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Qx=+ . P 3) Tính giá trị của khi cho x =−++33750750 . Lời giải 1) Rút gọn 121 xx++ P =−− xxx−++11( xxx−++11)( ) (xxxxx++−+−−+1211) ( ) ( )( ) P = ( xxx−++11)( ) −+xx −−xx( 1) P == ( xxxxxx−++−++1111)( ) ( )( ) − x P = . xx++1 2 2x+ 2 x + 2 x x + 2 x + 2 2) Qx= + = − = P −x − x − x 2 Qx= − + + 2 x 2 Theo BĐT Cauchy ta có x + 22. x 2 Nên x ++ + 22 22 x 2 Suy ra maxQ = − 2 2 + 2 dấu "=" xảy ra khi xx= = 2 . ( ) x 3) Từ x =337 − 50 + 7 + 50 Ta có xx32=7 − 50 + 7 + 50 + 33 7 − 50
- +−= −++=xxxxx3231402270 ( )( ) =x 2 ( Do xx2 + +2 7 0 ) − 2 Thay x = 2 ( Thỏa ĐKXĐ ), ta tính được P = . 32+ Câu 2. ( 3 điểm): Chứng minh (2 1nn 2−+ 1 )( ) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . Lời giải Do 21n − , 2n , 21n + là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích (2n−+ 1) 2 n( 2 n 1) 3 Mà (2 ,3n 1) = nên tích (2 1nn 2−+ 1 3)( ) . Câu 3. ( 4 điểm): 1) Giải phương trình : 41514xxx+=−+ 2 . 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xyxyxy22+=++ . Lời giải 1) Giải phương trình (đk: x −1) −+−+=xxx2 514410 −+++−++=(xxxx2 6914140) ( ) 2 2 −++−=(xx3120) ( ) x −=30 x = 3 . x +−=120 x +=14 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x22 + 2 y = 2 xy + 2 x + 2 y −++−+xxyyxxyy2222221212 +−+= −+−+−=( xyxy )222 ( 112) ( ) Vì x, y Z nên: xy+ 0 0 0 0 1 1 1 1 −1 x −1 1 1 0 0 1 0 0 1 y −1 1 1 1 0 0 1 0 0 ( xy; ) (2;2) (0;0) (1;0) (2;1) (1;2) (0;1) Vậy các nghiệm của phương trình là: (xy;2;2) ,( 0;0) ,1;0( ) ,( 2;1) ,1;2( ) ,( 0;1 ) ( ) . Câu 4. (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AK,, BD CE cắt nhau tại H . 1) Chứng minh AB AE= AC AD.
- KCACCBBA222+− 2) Chứng minh = . KB BACAAC222+− AK 3) Giả sử HK = . Chứng minh rằng : t a n .tBC a n 3 = . 3 2 4) Giả sử SABC = 1 2 0c m và BAC =60 . Hãy tính SA D E . Lời giải A D E H B K C 1) Xét ABD vuông tại D và A C E vuông tại E có : A chung Suy ra đồng dạng với (g-g) ABAD Từ đó = = AB AEAC AD . ACAE 2) Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có 222 2 ACCBBA222+− AKKCKCKBBA+++− ( ) VP == 2222 BACBAC+− BAKCKBAKKC222++−+( ) ( ) AK2+ KC 2 + KC 2 +2. KC KB + KB 2 − BA 2 = BA2+ KC 2 + KB 2 +2. KC KB − AK 2 − KC 2 2KC2+ 2 KC . KB +( AK 2 + KB 2 − BA 2 ) = (BA2− AK 2) + KB 2 + 2. KC KB 2KC2 + 2 KC . KB2KC( KC+ KB) KC = = = = VT . ( đpcm ) 2KB2 ++ 2 KC . KB 2 KB( KB KC) KB AK AK AK 2 3) Ta có tan B = ; tanC = =tanBC .tan . (1) BK CK BK. CK CK BK Mặt khác BKHC= nên tanB== tan KHC . Tương tự có tan C = . HK HK BK. CK Suy ra tanBC .tan = . (2) HK 2 2 2 AK 2 1 Từ (1) và (2) suy ra (tanBC .tan) == 3 . gt: HK= AK HK 3 Vậy tanBC .tan= 3. 4) Ta chứng minh được ABC đồng dạng với ADE ( theo câu a )
- 2 SABC AB Nên = S AADE D 1 Mà B A C =60 nên A B D =30 suy ra AD AB= . 2 SABC 2 Từ đó =4 SADE = 30 cm . SADE Câu 5. ( 1 điểm): Tìm tất cả các số tự nhiên mà khi gạch bỏ một chữ số của nó thì số đó giảm đi 31 lần. Lời giải + Giả sử số gạch đi là chữ số hàng đơn vị, ta có x c x= 31 (với x ) += =103121xcxxc Do 0 9 . x V T V P21 , 9. Vô lí. + Giả sử số gạch đi là chữ số hàng chục, ta có x b c x= c31 với xN +2 = 1x 3 c . b Lập luận tương tự như trên, nếu x V T 1 V P ( không thỏa ) suy ra x = 0. Khi đó bcbc= 3,31 nên có các số 31, 62, 93. + Giả sử số gạch đi là chữ số hàng trăm, ta có xabcxbcxbca= +=31210310 . Lập luận tương tự để chỉ ra xabcbcaa== 0,103.10,33;6;9 . Ta có các số 310 ; 620 ; 930. + Tiếp tục quá trình trên ta được các số dạng: 31.10kkk ; 62.10 ; 93.10(k = 0;1;2;3; ). HẾT