Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Ứng Hòa (Có đáp án)

Câu 5. ( 1 điểm):
Tìm tất cả các số tự nhiên mà khi gạch bỏ một chữ số của nó thì số đó giảm đi 31 lần.
pdf 5 trang Hải Đông 01/03/2024 3600
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Ứng Hòa (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdfde_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_nam_hoc_2020_2021_phong.pdf

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Ứng Hòa (Có đáp án)

  1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ỨNG HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Đề số 15 Câu 1. ( 6 điểm): xxx+++121 Cho biểu thức : Pxx=−− ( 0,1 ) . x −1 xxxx −++11 1) Rút gọn biểu thức P . 2 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Qx=+ . P 3) Tính giá trị của khi cho x =−++33750750 . Câu 2. ( 3 điểm): Chứng minh (2 1nn 2−+ 1 )( ) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . Câu 3. ( 4 điểm): 1) Giải phương trình : 41514xxx+=−+ 2 . 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xyxyxy22+=++ . Câu 4. (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AKBDCE,, cắt nhau tại H . 1) Chứng minh ABAEACAD = . KCACCBBA222+− 2) Chứng minh = . KB BACAAC222+− AK 3) Giả sử HK = . Chứng minh rằng : tan.tan3BC= . 3 2 4) Giả sử SABC = 120cm và BAC =60 . Hãy tính SA D E . Câu 5. ( 1 điểm): Tìm tất cả các số tự nhiên mà khi gạch bỏ một chữ số của nó thì số đó giảm đi 31 lần. HẾT
  2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN ỨNG HÒA Năm học: 2020-2021 Câu 1. ( 6 điểm): x+1 x + 2 x + 1 Cho biểu thức : P= − −( x 0, x 1) . x −1 x x−11 x + x + 1) Rút gọn biểu thức P . 2 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Qx=+ . P 3) Tính giá trị của khi cho x =−++33750750 . Lời giải 1) Rút gọn 121 xx++ P =−− xxx−++11( xxx−++11)( ) (xxxxx++−+−−+1211) ( ) ( )( ) P = ( xxx−++11)( ) −+xx −−xx( 1) P == ( xxxxxx−++−++1111)( ) ( )( ) − x P = . xx++1 2 2x+ 2 x + 2 x x + 2 x + 2 2) Qx= + = − = P −x − x − x 2 Qx= − + + 2 x 2 Theo BĐT Cauchy ta có x + 22. x 2 Nên x ++ + 22 22 x 2 Suy ra maxQ = − 2 2 + 2 dấu "=" xảy ra khi xx= = 2 . ( ) x 3) Từ x =337 − 50 + 7 + 50 Ta có xx32=7 − 50 + 7 + 50 + 33 7 − 50
  3. +−= −++=xxxxx3231402270 ( )( ) =x 2 ( Do xx2 + +2 7 0 ) − 2 Thay x = 2 ( Thỏa ĐKXĐ ), ta tính được P = . 32+ Câu 2. ( 3 điểm): Chứng minh (2 1nn 2−+ 1 )( ) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . Lời giải Do 21n − , 2n , 21n + là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích (2n−+ 1) 2 n( 2 n 1) 3 Mà (2 ,3n 1) = nên tích (2 1nn 2−+ 1 3)( ) . Câu 3. ( 4 điểm): 1) Giải phương trình : 41514xxx+=−+ 2 . 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xyxyxy22+=++ . Lời giải 1) Giải phương trình (đk: x −1) −+−+=xxx2 514410 −+++−++=(xxxx2 6914140) ( ) 2 2 −++−=(xx3120) ( ) x −=30 x = 3 . x +−=120 x +=14 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x22 + 2 y = 2 xy + 2 x + 2 y −++−+xxyyxxyy2222221212 +−+= −+−+−=( xyxy )222 ( 112) ( ) Vì x, y Z nên: xy+ 0 0 0 0 1 1 1 1 −1 x −1 1 1 0 0 1 0 0 1 y −1 1 1 1 0 0 1 0 0 ( xy; ) (2;2) (0;0) (1;0) (2;1) (1;2) (0;1) Vậy các nghiệm của phương trình là: (xy;2;2) ,( 0;0) ,1;0( ) ,( 2;1) ,1;2( ) ,( 0;1 ) ( ) . Câu 4. (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AK,, BD CE cắt nhau tại H . 1) Chứng minh AB AE= AC AD.
  4. KCACCBBA222+− 2) Chứng minh = . KB BACAAC222+− AK 3) Giả sử HK = . Chứng minh rằng : t a n .tBC a n 3 = . 3 2 4) Giả sử SABC = 1 2 0c m và BAC =60 . Hãy tính SA D E . Lời giải A D E H B K C 1) Xét ABD vuông tại D và A C E vuông tại E có : A chung Suy ra đồng dạng với (g-g) ABAD Từ đó = = AB AEAC AD . ACAE 2) Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có 222 2 ACCBBA222+− AKKCKCKBBA+++− ( ) VP == 2222 BACBAC+− BAKCKBAKKC222++−+( ) ( ) AK2+ KC 2 + KC 2 +2. KC KB + KB 2 − BA 2 = BA2+ KC 2 + KB 2 +2. KC KB − AK 2 − KC 2 2KC2+ 2 KC . KB +( AK 2 + KB 2 − BA 2 ) = (BA2− AK 2) + KB 2 + 2. KC KB 2KC2 + 2 KC . KB2KC( KC+ KB) KC = = = = VT . ( đpcm ) 2KB2 ++ 2 KC . KB 2 KB( KB KC) KB AK AK AK 2 3) Ta có tan B = ; tanC = =tanBC .tan . (1) BK CK BK. CK CK BK Mặt khác BKHC= nên tanB== tan KHC . Tương tự có tan C = . HK HK BK. CK Suy ra tanBC .tan = . (2) HK 2 2 2 AK 2 1 Từ (1) và (2) suy ra (tanBC .tan) == 3 . gt: HK= AK HK 3 Vậy tanBC .tan= 3. 4) Ta chứng minh được ABC đồng dạng với ADE ( theo câu a )
  5. 2 SABC AB Nên = S AADE D 1 Mà B A C =60 nên A B D =30 suy ra AD AB= . 2 SABC 2 Từ đó =4 SADE = 30 cm . SADE Câu 5. ( 1 điểm): Tìm tất cả các số tự nhiên mà khi gạch bỏ một chữ số của nó thì số đó giảm đi 31 lần. Lời giải + Giả sử số gạch đi là chữ số hàng đơn vị, ta có x c x= 31 (với x ) += =103121xcxxc Do 0 9 . x V T V P21 , 9. Vô lí. + Giả sử số gạch đi là chữ số hàng chục, ta có x b c x= c31 với xN +2 = 1x 3 c . b Lập luận tương tự như trên, nếu x V T 1 V P ( không thỏa ) suy ra x = 0. Khi đó bcbc= 3,31 nên có các số 31, 62, 93. + Giả sử số gạch đi là chữ số hàng trăm, ta có xabcxbcxbca= +=31210310 . Lập luận tương tự để chỉ ra xabcbcaa== 0,103.10,33;6;9 . Ta có các số 310 ; 620 ; 930. + Tiếp tục quá trình trên ta được các số dạng: 31.10kkk ; 62.10 ; 93.10(k = 0;1;2;3; ). HẾT