Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Cụm chuyên môn Thị xã Sơn Tây (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Cụm chuyên môn Thị xã Sơn Tây (Có đáp án)

1. UBND THỊ XÃ SƠN TÂY ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 02 Năm học 2022-2023 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: (5,0 điểm). 1/ Thực hiện phép tính a/ M = 1 1 : 26.33. 1 1 1 1 2 1 1 1 3 . . .( ) . b/ N = 2 3 36+ 3 4 (� 36. )−12 18�. 6 −( 3 . ) �10 ( )−.5( 2�) 2 3 − 4 9 7 −5 − 25 49 3 12 9 12 3 9 3 2 3 2/+ Tìm16 3 số hữu125 tỉ x7 bi+ết−: 5 −14 a/ 3 . + = 1 1 8 1 2 b/ � −+�𝑥𝑥 − 2�=� �15 −+5 � 3 𝑥𝑥+1 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥+3 𝑥𝑥+4 Bài 2: (3,02022 điểm).2021 2020 2019 Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba tỉ lệ nghịch với 3;4;2. Tìm số học sinh của mỗi tổ. Bài 3: (4,0 điểm). a/ Cho ba số x, y, z tỉ lệ với 3, 4, 5. Tính giá trị của biểu thức P = 2022𝑥𝑥+2023𝑦𝑦−2024𝑧𝑧 4 2 b/ Tìm hệ số a sao cho đa thức2022 G(x)𝑥𝑥− =2023 x 𝑦𝑦++ 2024x +𝑧𝑧 a chia hết cho đa thức M(x) = x2 – x + 1. Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm I. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. a/ Chứng minh rằng BI = ID. b/ Tia DI cắt tia AB tại điểm E. Chứng minh rằng IBE = IDC, Từ đó suy ra BD // CE. ∆ ∆ c/ Gọi H là trung điểm của EC. Chứng minh ba điểm A, H, I thẳng hàng và AH BD. d/ Cho = 2. . Chứng minh AB + BI = AC. ⊥ Bài 5: (1,0 điểm). 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� Cho biết xyz = 1. Tính giá trị A = + + . 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 ___H𝑥𝑥Ế𝑥𝑥T___+𝑥𝑥+1 𝑦𝑦𝑦𝑦+𝑦𝑦+1 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑧𝑧+1 Họ tên học sinh: .SBD: Lưu ý: Giáo viên không giải thích gì thêm; học sinh không được dùng máy tính.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 7 NĂM HỌC 2022-2023 Bài Nội dung Điểm 1.1a 1a/ M = 1 1 : 26.33. 1 1 (1,5đ) 1 1 2 1 1 1 3 0,5 = � 2 − 3.�36 36 −26.33. � 3 − 4 � 1 1 2 1 1 3 = �2.−363� 26.3−3. � 3 − 4� . 0,5 1 1 3 3 = 136 – 1 =0− 3 4 0,5 . . .( ) . 1.1b 1b/ N = + ( 36. ) 12 18. 6 ( 3 . ) 10 ( ) .5( 2) 2 3 − 4 9 7 −5 − 25 49 (1,5đ) 3 12 9 12 3 9 3 . . . . = 2 3 + 16 3 + 125 7 + −5 −14 ( 36. )12 36 . 12 3. 10 .10 . 4 0,5 2 3 − 2 3 7 5 − 5 7 3 12 . (9 12) 9 3 9 3 3 = 02 +3 + 16 3 5 7 + 5 2 7 0,5 3. 10( ) 7 5 1−7 0,5 .( 9) 3 3 = 5 7= -1 + 2 5 −6 10 1.2a a/ 3 9 . 3 + = 1 (1,0đ) 1 8 1 2 � − �𝑥𝑥 − 12�� �158 − 5�3 3 2 3 . = 1 2 15 15 3 �3− �𝑥𝑥 − ��. � = − � − 1 1 1 � 3− � 𝑥𝑥 − 2�� =3 :3 1 1 1 0,5 �3 − �𝑥𝑥 − 2��= 1 3 3 1 − �𝑥𝑥 −=2 �3 1 = 2 1 �𝑥𝑥 − 2 =� ±2 − 1 𝑥𝑥 − 2 = 2 = 2 + = 1 1 5 0,5 𝑥𝑥 − 2 = 2 =𝑥𝑥 2 +2 =2 � 1 ⇔ � 1 −3 Vậy𝑥𝑥 x − 2 ; − 𝑥𝑥 − 2 2 5 −3 ∈ �2 2 �
3. b/ + = + 𝑥𝑥+1 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥+3 𝑥𝑥+4 1.2b 0,5 2022+ 1 2021+ 2020+ 1 2019= + 1 + + 1 𝑥𝑥+1 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥+3 𝑥𝑥+4 (1,0đ) �2022 + � �2021 = � +� 2020 � �2019 � 𝑥𝑥+2023 𝑥𝑥+2023 𝑥𝑥+2023 𝑥𝑥+2023 (x2022 + 2023). 2021 + 2020 2019 = 0 1 1 1 1 0,5 x + 2023 = 0� 2022( vì 2021+ − 2020 − 2019 � 0) 1 1 1 1 x = - 2023 2022 2021 − 2020 − 2019 ≠ Vậy x = - 2023. 2 Gọi số học sinh tổ 1; tổ 2; tổ 3 lần lượt là a, b, c (học sinh; a, b, 0,5 * (3,0đ) c N ; a, b, c < 52) Vì lớp 7A có 52 học sinh được chia làm 3 tổ nên ta có ∈ 0,5 a + b + c = 52 (1) số học sinh tổ 1; tổ 2; tổ 3 sau khi thêm bớt lần lượt là a - 1, b - 0,5 2, c + 3 ( học sinh) Vì tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3;4;2 nên ta có 3(a – 1) = 4(b – 2) = 2(c + 3) 0,5 = = (2) 𝑎𝑎−1 𝑏𝑏−2 𝑐𝑐+3 ⇒Từ (1)4 và (2)3 áp dụng6 tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có = = = = = 4 𝑎𝑎−1 𝑏𝑏−2 𝑐𝑐+3 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐−1−2+3 52 4 a - 31= 4.4 6 = 16 4a+ =3 +176 13 b - 2 = 4.3 = 12 b = 14 1,0 ⇒ c + 3 = 4.6 = 24 c = 21 ⇒ Vậy số học sinh tổ 1; tổ 2; tổ 3 của lớp 7A lần lượt là 17; 14; 21 ⇒ học sinh. 3a Ta có x, y, z thỉ lệ với 3; 4; 5 nên ta có = = = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 (2,0đ) 0,5 x = 3k; y = 4k ; z = 5k 3 4 5 𝑘𝑘 . . . Thay vào P ta có P = ⇒ . . . 2022 3𝑘𝑘+2023 4𝑘𝑘−2024 5𝑘𝑘 1,0 = 2022 3𝑘𝑘−2023 4𝑘𝑘+2024 5𝑘𝑘 6066𝑘𝑘+8092𝑘𝑘−10120𝑘𝑘 = 6066𝑘𝑘−=8092 𝑘𝑘+10120. 𝑘𝑘 0,5 4038𝑘𝑘 2019 8094𝑘𝑘 4047
4. 3b x4 + x2 + a x2 – x + 1 x4 –x3 + x2 x2 + x + 1 (2,0đ) 1,0 x3 + a x3 –x2 + x x2 – x + a x2 – x + 1 a - 1 đa thức x4 + x2 + a chia hết cho đa thức x2 – x + 1 1,0 a – 1 = 0 a = 1 ⇔ Vậy với a = 1 thì đa thức G(x) = x4 + x2 + a chia hết cho đa thức M(x) = x2 – x + 1. 4 A D 0,5 C B I H E 4a a/ Xét ABI và ADI có (1,5đ) = ( ) ∆ ∆ = ( ) ABI = ADI (c.g.c) 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐵𝐵𝐵𝐵�𝐵𝐵 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷� 𝑔𝑔𝑔𝑔 � ⇒ ∆ ∆ 1,0 𝑐𝑐 ạ𝑛𝑛ℎ=𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑐𝑐 ℎ (𝑢𝑢 hai𝑢𝑢𝑢𝑢 cạnh tương ứng) 4b ⇒*) Ta𝐵𝐵𝐵𝐵 có 𝐷𝐷𝐷𝐷ABI = ADI (cmt) (2,0đ) =∆ (hai∆ góc tương ứng) 0 ⇒Mà𝐴𝐴𝐴𝐴 �𝐴𝐴 +𝐴𝐴𝐴𝐴 �𝐴𝐴 = + = 180 ( kề bù) 0,5 𝐴𝐴𝐴𝐴�𝐴𝐴 = 𝐼𝐼𝐼𝐼�𝐼𝐼 𝐴𝐴𝐴𝐴�𝐴𝐴 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼� ⇒Xét 𝐼𝐼𝐼𝐼� IBE𝐼𝐼 và𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 �IDC có ∆ = ∆ ( ) = ( ) IBE = IDC (g.c.g) 0,5 � � 𝐼𝐼𝐼𝐼=𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ( 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 ) 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 � ⇒ ∆ ∆ 𝐵𝐵�𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷� đố𝑖𝑖 đỉ𝑛𝑛ℎ
5. Ta có IBE = IDC (cmt) BE = DC ( hai cạnh tương ứng) Mà AB∆ = AD ∆ AB + BE ⇒= AD + DC hay AE = AC 0,5 = AEC cân ⇒tại A 0 180 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵� ⇒ ∆ ⇒ 𝐴𝐴� 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 = Lại có AB = AD (gt) ABD cân tại A 0 180 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵� = . Chúng⇒ ở∆ vị trí đồng vị củ⇒a hai𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� đường thẳng2 0,5 BD⇒ 𝐴𝐴� và𝐴𝐴𝐴𝐴 CE 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� BD // CE ( đfcm) 4c Xét AEH⇒ và ACH có (2,0đ) =∆ ( ∆) AEH = ACH (c.c.c) 𝐴𝐴𝐴𝐴 =𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝑐𝑐) 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑐𝑐ℎ𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 � ⇒ ∆ ∆ = ( hai góc tương ứng) 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 0,5 ⇒ AH𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸� là phân𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶� giác của góc BAC ⇒Mà AI là phân giác của góc BAC 0,5 AH trùng AI hay ba điểm A, I, H thẳng hàng Ta⇒ có AEH = ACH (cmt) ∆ = ∆ ( hai góc tương ứng) 0 Mà⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴�𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� = 180 ( kề bù) 0 0 0,5 𝐴𝐴𝐴𝐴�𝐴𝐴= 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� = 180 : 2 = 90 AH EC mà EC // BD 0,5 ⇒ AH𝐴𝐴𝐴𝐴� 𝐴𝐴 BD𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� ( đfcm) ⇒ ⊥ 4d ⇒ Ta⊥ có IBE = IDC ( cmt) = (hai góc tương ứng) (1,5đ) ∆ ∆ ⇒ và𝐵𝐵𝐵𝐵� BE𝐵𝐵 = DC𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� ( hai cạnh tương ứng) Mà = + ( Góc ngoài của BEI) 0,5 2𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴�. =𝐵𝐵𝐵𝐵 �𝐵𝐵 +𝐵𝐵� 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∆ hay = ⇒ BEI𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� cân t𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴�ại B 𝐵𝐵�𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇔ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� 𝐵𝐵�𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵�𝐵𝐵 𝐵𝐵�𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒ BE∆ = BI mà BE = DC ( cmt) BI = DC ⇒ lại có AB = AD (gt) ⇒ AC = AD + DC = AB + BI ( đfcm) 0,5 ⇒
6. 5 Với xyz = 1 ta có (1,0đ) A = + + . 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 + 𝑦𝑦𝑦𝑦+𝑦𝑦+1 +𝑥𝑥𝑥𝑥 +𝑧𝑧+1 . 0,5 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥𝑥𝑥++𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦+ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 0,5 = 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1= 1𝑥𝑥 𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương