Đề kiểm tra học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Huyện Đức Phổ - Đề số 13 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Huyện Đức Phổ - Đề số 13 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 13. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Câu 1. (1,5 điểm) 2 2 1 1 0,4 0,25 9 11 3 5 2014 a)M : 7 7 1 2015 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6 b) Tìm x, biết: x2 x 1 x 2 2 . Câu 2. (2,5 điểm) a b c b c a c a b a) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: . c a b b a c Hãy tính giá trị của biểu thức B 1 1 1 . a c b b) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5 : 6 : 7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4 : 5 : 6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Câu 3. (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x 2 2 x 2013 với x là số nguyên. x y z xyz b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình . Câu 4. (3,0 điểm) Cho xAy 60 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song vớiAy , Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh : a ) K là trung điểm của AC. b ) KMC là tam giác đều. c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM Câu 5. (1,0 điểm). Cho ba số dương 0 a b c 1 chứng minh rằng: a b c 2 bc 1 ac 1 ab 1 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm 2 2 1 1 0,4 0,25 9 11 3 5 2014 1) Ta có: M : 7 7 1 2015 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6 2 2 2 1 1 1 5 9 11 3 4 5 2014 : 0.25đ 7 7 7 7 7 7 2015 5 9 11 6 8 10 1 1 1 1 1 1 Câu 1 0.25đ 2 5 9 11 3 4 5 2014 : (1,5 điểm) 1 1 1 7 1 1 1 2015 7 5 9 11 2 3 4 5 0.25đ 2 2 2014 : 0 7 7 2015 2) vì x2 | x 1 | 0 nên (1) x2 | x 1 | x 2 2 hay x - 1 2 0.25đ +) x 3 0.25đ +) x 1 0.25đ 1) +Nếu a b c 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: abcbcacababcbcacab 1 c a b a b c Câu 2 0.25đ a b c b c a c a b mà 1 1 1 2 (2,5 điểm) c a b a b b c c a 0.25đ 2 c a b b a c b a c a b c 0.25đ Vậy B 1 1 1 8 a c b a c b
3. +Nếu a b c 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: abcbcacababcbcacab 0 0.25đ c a b a b c a b c b c a c a b mà 1 1 1 1 c a b a b b c c a 0.25đ 1 c a b b a c b a c a b c 0.25đ Vậy B 1 1 1 1 a c b a c b 2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c 0,25đ abcabcx 5 x 6 xx 7 x Ta có: a ;; b c (1) 5 6 7 18 18 18 18 3 18 0,25đ Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: abcabcx' ' ' ' ' ' 4 x 5 xx 6 x a' ;; b' c ' (2) 4 5 6 15 15 15 15 3 15 So sánh (1) và (2) ta có: a a ;b b ;c c nên lớp 7C nhận nhiều 0,25đ hơn lúc đầu. 6x 7 x x Vây: c'– c 4 hay 4 4 x 360 15 18 90 0,25đ Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói. 1) Ta có: A 2 x 2 2 x 2013 | 2 x 2 | | 2013 2 x | 0,25đ 0,25đ 2x 2 2013 2 x 2015 Câu 3 2013 (2,0 điểm) Dấu “=” xảy ra khi (2x 2)(2013 2 x ) 0 1 x 0,25đ 2 2013 0,25đ Vậy Min A 2015 khi 1 x , x 2
4. 2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử 1 x y z 1 1 1 1 1 1 3 Theo bài ra 1 yz yx zx x2 x 2 x 2 x 2 0,25đ 2 x 3 x 1 Thay vào đầu bài ta có 1 y z yz y yz 1 z 0 y(1 z ) (1 z ) 2 0 0,25đ (y 1)(z 1) 2 TH1: y 1 1 y 2 và z 1 2 z 3 0,25đ TH2: y 1 2 y 3 và z 1 1 z 2 Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3);(1,3,2) 0,25đ Vẽ hình , GT _ KL x z B C 0,25đ K A H M y ABC CAB ACB MAC Câu 4 a, cân tại B do và BK là đường cao 0,5đ 0,25đ (3,0 điểm) BK là đường trung tuyến K là trung điểm của AC b, ABH BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) 1 0,25đ BH AK ( hai cạnh t. ý ) mà AK AC 2 1 BH AC 2 0,25đ Ta có : BH CM ( t/c cặp đoạn chắn ) 1 mà CK BH AC CM CK MKC là tam giác cân ( 1 ) 2 0,25đ
5. Mặt khác MCB 90 và ACB 30 0,25đ MCK 60 (2) Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều c) Vì ABK vuông tại K mà KAB 30 AB 2BK 2.2 4 cm 0,25đ Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có: AK AB2 BK 2 16 4 12 0,25đ 1 Mà KC AC KC AK 12 2 KCM đều KC KM 12 0,25đ Theo phần b) AB BC 4 AH BK 2 HM BC (HBCM là hình chữ nhật) 0,25đ AM AH HM 6 Câu 5 Vì 0 a b c 1 nên: (1 điểm) 1 1 c c (a 1)( b 1) 0 ab 1 a b (1) ab 1 a b ab 1 a b 0,25đ a a b b Tương tự: (2) ; (3) bc 1 b c ac 1 a c a b c a b c 0,25đ Do đó: (4) bc 1 ac 1 ab 1 b c a c a b a b c2 a 2 b 2 c 2(a b c ) Mà 2 (5) 0,25đ bcacababcabcabc abc a b c Từ (4) và (5) suy ra: 2 (đpcm) bc 1 ac 1 ab 1 0,25đ - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.